Unité de Recherche Associée au CNRS
La dynamique de systèmes très simples (une particule dans un champ de forces) peut mener à des mouvements complexes. Par exemple, les trajectoires d'une particule dans un billard en forme de stade sont instables et remplissent finalement tout le billard. Ce système a un analogue quantique: une onde se propageant à l'intérieur d'une cavité (électrons dans une boîte quantique, lumière dans une fibre optique...). L'approche semi-classique permet d'analyser les modes stationnaires et leur propriétés de localisation, d'où découlent des propriétés remarquables sur des fonctions mathématiques spéciales. Ainsi ce vaste domaine de recherches est à la frontière entre mathématique et physique, avec des applications variées, par exemple, dans l'étude de la turbulence et de la décohérence quantique.
La physique statistique repose sur un comptage précis des différents états et configurations d'un système, d'où son lien intime avec la combinatoire. L'effet Hall quantique, l'évaporation de dimères sur une surface ou la fonte d'un cristal peuvent par exemple s'analyser en termes de marches aléatoires généralisées avec contraintes, qui sont résolues par analogie avec des systèmes intégrables. Le lien entre les phénomènes critiques sur des réseaux bidimensionnels (2D) réguliers et leur version "gravitationnelle" sur des réseaux aléatoires est la clef de la résolution de nombreux problèmes de mécanique statistique (polymères, particules à cœur dur) et de mathématique (problème des trois couleurs, problème des méandres). L'approche combinatoire permet en retour d'aller bien au-delà de résultats classiques. Par exemple, le découpage de graphes en arbres a permis l'étude de la statistique des distances internes sur les réseaux aléatoires.
Les systèmes intégrables ou exactement solubles possèdent un grand nombre de quantités conservées lors de leur évolution. Ils permettent notamment l'étude de phénomènes non-perturbatifs dans des systèmes physiques sujets à de fortes fluctuations statistiques et quantiques. Leur analyse met en évidence des structures algébriques ou géométriques remarquables dont le champ d'application s'étend de la physique aux mathématiques pures. Les théories conformes des champs se sont aussi révélées d'excellents outils pour étudier les systèmes critiques 2D et les systèmes quantiques 1D de physique mésoscopique, ou pour caractériser certains processus universels de croissance stochastiques et fractals. Le lien entre géométrie et systèmes intégrables apparaît aussi dans l'étude des matrices aléatoires. Du fait de leur propriété d'universalité (loi des grands nombres), ces modèles ont de nombreuses applications non seulement en mathématique mais aussi en physique (théorie des cordes, chromodynamique quantique, chaos quantique, croissance de cristaux), jusqu'en biologie (structure de l'ARN ) et dans la vie de tous les jours (économie, fréquence de passage des bus).
La longueur d’onde de de Broglie d'une particule qui se déplace dans une région où la densité d'énergie est très grande, près d'un trou noir par exemple, peut devenir du même ordre de grandeur que le rayon de courbure de l'espace-temps. Des phénomènes quantiques viennent alors modifier les lois de la gravité classique. La description de tels phénomènes est l'objet de la théorie des cordes, dans laquelle les particules apparaissent comme des modes de vibration d’objets étendus et qui apporte une description unifiée de la gravité et de la mécanique quantique. La quantification des théories des cordes dans des espaces courbes utilisent des techniques développées dans l'étude des modèles de matrices tandis que l'expertise acquise dans le domaine des théories conformes est mise à profit dans le calcul d'amplitudes de diffusion de branes et de la désintégration de modes instables. Enfin, en physique des particules, de nouvelles méthodes s'inspirant des théories des cordes ont été mises au point pour calculer de façon puissante des sections efficaces de chromodynamique quantique.
