Calcul des nombres d’intersection de Witten-Kontsevitch  

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Les « nombres d’intersection de Witten-Kontsevich » sont les probabilités de diffusion dans le modèle le plus simplifié possible de gravité quantique et théorie des cordes : une gravité quantique à très basse énergie, simplifiée à l’extrême pour ne garder que le phénomène fondamental des fluctuations de topologie.

Ce sont des nombres entiers ou rationnels positifs, et ils sont la base de toutes les théories de cordes plus complexes, et de toute la géométrie énumérative des surfaces, notamment de la géométrie algébrique. De plus, la conjecture de E. Witten, dont la démonstration a donné la médaille Fields à M. Kontsevich, indique que ces mêmes nombres se retrouvent dans presque tous les problèmes de physique mathématique : les matrices aléatoires, la physique statistique sur une surface aléatoire, la propagation des vagues dans un canal, ou l’approximation semi-classique des solutions d’équations de Schrödinger, et de toutes les théories de champs en physique quantique. Ils jouent notamment un grand rôle dans le modèle de trou noir développé par Jackiw-Teitelboim.
 

Mais la question est : comment calculer ces nombres? A-t-on des formules efficaces, des algorithmes performants ? Peut-on les tabuler ? Et comment les approximer dans la limite dite « des grandes topologies », dans laquelle le nombre de « trous » dans une surface (plus précisément la caractéristique d'Euler) tend vers l'infini ?

Ces questions sont abordées par Bertrand Eynard, chercheur à l'Institut de Physique Théorique (IPhT), et ses jeunes collaborateurs : P. Gregori, A. Giacchetto, D. Mitsios, de l'IPhT, ansi que E. Garcia-Failde (Sorbonne Université et Université Paris Cité, CNRS) et D. Lewański (Université de Trieste).

Parmi les résultats récents de ce groupe on compte des nouvelles formules pour calculer les nombres d'intersection, ainsi que l'estimation de leur degré de complexité algorithmique (nombre d’opérations élémentaires pour effectuer chaque évaluation de la formule). Il se trouve que, en fixant le nombre de bords d'une surface, la complexité algorithmique suit une loi de puissance en termes de la caractéristique d'Euler. (Bertrand Eynard, Dimitrios Mitsios : A new formula for intersection numbers , arxiv.2212.04256 ).

L'équipe a aussi œuvré activement pour créer un communauté internationale, en organisant des groupes de travail et des conférences (Les Diablerets 27 fevrier-3 mars 2023 et 13-18 mars 2023), afin d'implémenter concrètement l'algorithme de calcul de ces nombres dans le logiciel libre de calcul formel SageMath. Des codes SageMath sont librement disponibles dans le dépôt GitLab admcycles et des feuilles de calculs sont également accessibles sur le cloud COCALC. Une interface web qui permet de calculer les nombres d'intersection est actuellement disponible (voir figure). On peut dire que un immense service à la communauté physique et mathématique a ainsi été rendu !

R. Guida, dépêche du 11/04/2023

 

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