Je m'intéresserai aux propriétés métriques des quadrangulations planaires aléatoires, et plus particulièrement aux géodésiques (chemins de longueur minimale). Par des méthodes combinatoires, je calculerai le nombre moyen de géodésiques reliant deux points donnés, et d'autres quantités similaires. Je considérerai ensuite la limite d'échelle, correspondant à un espace métrique continu aléatoire. Nos résultats indiquent que deux points typiques sont reliés par une unique géodésique continue (limite de toutes les géodésiques discrètes), en accord avec les travaux récents de Miermont et de Le Gall. Il existe cependant quelques points exceptionnels d'où partent des géodésiques distinctes. Je m'intéresserai enfin à la surprenante propriété de ``confluence'' des géodésiques.