Nous consid\'erons l'ensemble des graphes al\'eatoires \`a $n$ sommets, chaque graphe ayant un poids proportionnel \`a $\exp\{ - \beta Tr (\Delta^2)\}$, o\`u $\Delta$ est le laplacien discret sur le graphe: c'est l'ensemble d'Erd\H os-R\'enyi des graphes al\'eatoires. Dans cet ensemble les ar\^etes sont d\'ecrites par des variables al\'eatoires ind\'ependantes de Bernoulli, qui prennent la valeur 1 avec la probabilit\'e $p =O(e^{-2\beta})$. Nous \'etudions le comportement asymptotique de l'``\'energie libre'' $$ Z_{n,p,\beta} = {1\over pn^2} \log {\bf E} \{ e^{g_n Tr (\Delta^4)}\}, $$ dans trois r\'egimes asymptotiques diff\' erents, respectivement $p=O(1)$, $1/n\ll p\ll 1$, et $ p = O(1/n)$. En utilisant la technique des diagrammes connexes, nous d\'emontrons que les limites formelles de $Z_{n,p,\beta}$ existent dans ces r\'egimes. Nous donnons les expressions explicites pour certains termes de ces limites, qui sont d\'etermin\'ees par l'\'equation de Lagrange-P\'olya ou ses g\'en\'eralisations. Ces r\'esultats impliquent le Th\'eor\`eme Limite Central pour les moments des mesures spectrales des matrices d'adjacence des graphes al\'eatoires d'Erd\H os-R\'enyi.